Equazione di campo di Einstein
L'equazione di campo di Einstein è l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.[1]
L'equazione è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.[2]
Equazione[modifica | modifica wikitesto]
L'equazione di campo originale è
Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico. Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è
dove:
- è il tensore di curvatura di Ricci;
- la curvatura scalare, ossia la traccia di calcolata rispetto alla metrica data dal tensore metrico ;
- il tensore metrico;
- la costante cosmologica;
- il tensore energia impulso;
- la velocità della luce nel vuoto;
- la costante di gravitazione universale.
Il tensore descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6. Definendo il tensore di Einstein come segue:
possiamo riscrivere l'equazione di campo come
Lagrangiana della relatività generale[modifica | modifica wikitesto]
L'equazione di campo della relatività generale nel vuoto può essere derivata dalla variazione di una densità lagrangiana[3]. L'azione ad essa associata, ossia l'integrale della suddetta densità Lagrangiana, è data dalla somma dell'azione di Einstein-Hilbert e da un di volume proporzionale alla costante cosmologica:
Nella precedente equazione è la radice quadrata del (negativo del) determinante della metrica, è lo scalare di curvatura e è la costante cosmologica.
Equazioni di campo di Einstein–Maxwell[modifica | modifica wikitesto]
Se il tensore energia impulso è quello associato alla presenza di un campo elettromagnetico nel vuoto, dato da:
allora si parla di equazioni di campo di Einstein–Maxwell (dove la costante cosmologica è posta a zero nella teoria standard):
dove, per brevità, si è posto e denota permeabilità magnetica nel vuoto.
Oltre alla precedente equazione, devono essere soddisfatte le equazioni di campo di Maxwell (scritte in forma covariante):
dove denota la derivata covariante, e l'operazione di anti-simmetrizzazione. La prima equazione di Maxwell asserisce che la divergenza (quadrimensionale) covariante della 2-forma differenziale è zero, e la seconda che (anche) la sua derivata esterna è zero. Da quest'ultima, segue per il lemma di Poincaré che (localmente) in una carta locale è possibile trovare una 1-forma (potenziale del campo elettromagnetico) tale che:
dove denota la derivata parziale.
Altre equazioni di campo[modifica | modifica wikitesto]
L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.
I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.
Contrazione o espansione dell'universo[modifica | modifica wikitesto]
Il termine venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi. Nei dieci anni successivi le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l'espansione dell'universo e il termine venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l'introduzione il suo più grande errore[4]). Sembra però che Einstein fosse "condannato" ad avere in qualche modo ragione in quanto la costante cosmologica si è riaffermata nel 1998 con l'osservazione di un universo in accelerazione, che ha spinto gli astronomi a introdurre l'idea di una costante cosmologica positiva.[5][6] Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, ora rappresentata dall'energia oscura.
Trascurando temporaneamente la costante cosmologica e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l'universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l'equazione tensoriale all'equazione differenziale:
dove è il fattore di scala (che se l'universo è chiuso ne rappresenta il raggio), la sua velocità di variazione, la densità media dell'universo e la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo , calcolare quella che viene definita la "densità critica" dell'universo, che risulta:
dove si è fatto utilizzo della relazione che lega il parametro di Hubble al fattore di scala. Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare . Se la curvatura dell'universo è maggiore di 0 esso si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Sempre con , l'equazione , che assume la forma
può essere risolta ponendo , e ha come soluzione :
dove è una costante. Questa soluzione ci dice che, per un universo spazialmente piatto e con costante cosmologica nulla, il fattore di scala è proporzionale al tempo alla due terzi .
Reintroducendo la costante cosmologica come una forma di energia, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio; di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: una rappresentata dalla materia, osservabile e oscura, e l'altra dall'energia oscura. Infatti in tal caso l'equazione diventa
Dove è la densità della materia e la densità di energia associata alla costante cosmologica definita come , che ha proprio le dimensioni di una densità energetica.
Dal momento che le attuali osservazioni, in particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, indicano che l'universo è molto vicino a una curvatura nulla, la densità dell'universo dovrebbe essere molto vicina al valore critico che ne determinerebbe una geometria piatta. Al contrario la densità di energia della materia globalmente rilevabile è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore e la costante cosmologica sotto forma di energia oscura, qualora dimostrata e quantificata, dovrebbe permettere di colmare tale differenza e prevedere di conseguenza il destino ultimo dell'universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d'indagine per la cosmologia.
Soluzioni delle equazioni di campo[modifica | modifica wikitesto]
Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:
- l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
- il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
- la soluzione di Lemaitre, una prima formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.
Note[modifica | modifica wikitesto]
- ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p. 916.
- ^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
- ^ [1]
- ^ George Gamow, My World Line : An Informal Autobiography, Viking Adult, 28 aprile 1970, ISBN 0-670-50376-2. URL consultato il 14 marzo 2007.
- ^ Nicolle Wahl, Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?, 22 novembre 2005. URL consultato il 14 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 7 marzo 2007).
- ^ Michael S. Turner, Making Sense of the New Cosmology, in Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, maggio 2001, pp. 180–196, Bibcode:2002IJMPA..17S.180T, DOI:10.1142/S0217751X02013113, arXiv:astro-ph/0202008.
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
- Big Bang
- Calcolo di Regge
- Equazioni di Friedmann
- Relatività generale
- Soluzione di Lemaitre
- Spazio-tempo di Schwarzschild
- Universo di de Sitter
Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Einstein field equations, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di campo di Einstein, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Equazione di campo di Einstein, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 49059 · LCCN (EN) sh85041416 · GND (DE) 4013941-4 · BNF (FR) cb144911223 (data) · J9U (EN, HE) 987007533686305171 |
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