Legge di annullamento del prodotto

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In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero. In formula:

Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anello[1]. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.

È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.

Dimostrazione

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Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi appartenenti a un corpo entrambi non nulli, tali che .

Moltiplicando a sinistra entrambi i membri per l'elemento inverso di e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:

Poiché in un corpo

infatti

quindi, per la legge di cancellazione, si ha

e quindi

che contraddice l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.

  1. ^ La proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto , fa parte delle proprietà di base degli anelli

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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